polinomios: noviembre 2011

domingo, 20 de noviembre de 2011

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importancia de la factorizacion

La factorización es un procedimiento por el cual se deshace la multiplicación, y su importancia es grande ya que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones y en general, dentro del proceso de solución de problemas de diferentes temas de la matemática, ayuda sistemáticamente, a encontrar la solución buscada.

La factorización es una operación que consiste: dado un polinomio P(x) hallar dos o más polinomios de menos grados llamados factores de P(x) dados que multiplicados entre sí de P(x).

caso de factorizacion 6,7,8,9,10

caso x Suma o Diferencia de Cubos perfectos

Para esto debemos recordar que:

$\begin{displaymath}\frac{a^3+b^3}{a+b} = a^2-ab+b^2\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{a^3-b^3}{a-b} = a^2+ab+b^2\end{displaymath}$

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Caso IX - Cubo perfecto de binomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,$

es decir que debe cumplir con las siguientes caracterìsticas:

Debe tener cuatro términos.
Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos
Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .

Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

$4x^2+12x+9\,$

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término(4x²) :

$4x^2+12x+(9\cdot4)\$

$4x^2+12x+36\,$

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

$6\cdot6=36$

$6+6=12\,$

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

$(4x+6)(4x+6)\,$

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :

$\frac{(4x+6)(4x+6)}{4}\,$ : $=\frac{(4x+6)}{2}\cdot \frac{(4x+6)}{2}\,$

Queda así terminada la factorización :

$(2x+3)(2x+3)\,$ : $=(2x+3)^2\,$

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,$

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 +... +xy^{n-2}+y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \,$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \,$

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

$x^2+xy+y^2=x^2+xy+y^2+(xy-xy)=x^2+2xy+y^2-xy=(x+y)^2-xy\,$

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,$

Ejemplo:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,$

sábado, 19 de noviembre de 2011

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c

Ejemplo:

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,$

Ejemplo:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,$

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

$(ay)^2-(bx)^2= (ay-bx)(ay+bx)\,$

O en una forma más general para exponentes pares:

$(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,$

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

$(ay)^n-(bx)^m= ((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}) \,$

Ejemplo 1:

$9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,$

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

$(2y)^6-(3x)^{12}= ((2y)^{6/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot\prod_{i=1}^{2} ((2y)^{6/{2^i}}+(3x)^{12/{2^i}})= \,$

$((2y)^{3/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2^2}+(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})= \,$

$((2y)^{3/4}-(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/4}+(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{6}) \,$

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,$

Ejemplo 1:

$(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,$

Ejemplo 2:

$(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,$

Ejemplo 3:

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,$

Ejemplo 4:

$4x^2+25y^2-20xy\,$

Organizando los términos tenemos

$4x^2 - 20xy + 25y^2\,$

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

$(2x - 5y)^2\,$

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.